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9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a10+a9=6a8,若存在兩項(xiàng)am,an使得aman=4a1,則2m+1n的最大值為( �。�
A.12+23B.115C.910D.3+22

分析 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q>0,由a10+a9=6a8,可得a8(q2+q)=6a8,解得q=2.根據(jù)存在兩項(xiàng)am,an使得aman=4a1,化為:m+n=6.則2m+1n=16m+n2m+1n=163+2nm+mn,令nm=t∈{1,2,5},(m,n∈N*),即可得出.

解答 解:設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q>0,∵a10+a9=6a8,∴a8(q2+q)=6a8,解得q=2.
∵存在兩項(xiàng)am,an使得aman=4a1,∴a21×2m+n2=4a1,化為:m+n=6.
2m+1n=16m+n2m+1n=163+2nm+mn,
nm=t∈{1,2,5},(m,n∈N*).
則f(t)=2t+1t,f(1)=3,f(2)=92,f(5)=515
∴最大值為163+515=115
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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