Question

已知函數(shù)f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4x定義域?yàn)閇-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判斷g（x）的單調(diào)性；
（3）若g（x）=m有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由函數(shù)f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2解出3^a的值，整體代入g（x）=3^ax-4x中得到g（x）=2^x-4x，
（2）對(duì)g（x）=2^x-4x求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性；
（3）令m屬于g（x）的值域，可保證g（x）=m有解，故求m的范圍的過(guò)程可轉(zhuǎn)化為求g（x）的值域．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2可得3^a+2=18，故9×3^a=18，得3^a=2
又g（x）=3^ax-4x=（3^a）^x-4x=2^x-4x
故g（x）=2^x-4x，x∈[-1，1]．
（2）∵g'（x）=ln2×2^x-4是一增函數(shù)，
又x∈[-1，1]，故可得g'（1）=ln2×2-4＜0
∴g（x）=2^x-4x，在[-1，1]上是減函數(shù)．
（3）由（2）知函數(shù)在[-1，1]上是減函數(shù)．
故-2≤g（x）≤

9

2

∵g（x）=m有解，
故m的取值范圍是[-2，

9

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，本題把求m的范圍的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求g（x）的值域，在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，合理的正確的轉(zhuǎn)化是求解成功的關(guān)鍵．