Question

祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商在第一年初到大陸創(chuàng)辦一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第二年到第六年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第七年開(kāi)始，每年初M的價(jià)值為年初的75%．
（1）求第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)A_n=

a1+a2+…+an

n

，若A_n大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年初對(duì)M更新．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{a_n}中從a₆開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，分別確定它們的首項(xiàng)和公差，公差，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行合并即可．
（2）先對(duì)n進(jìn)行公類(lèi)，表示出A_n，利用數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)確定其最佳項(xiàng)，并與80比較大小，確定n的值．

解答：解：（1）當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為-10的等差數(shù)列，
故a_n=120-10（n-1）=130-10n，
當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{a_n}從a₆開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a₆=130-60=70為首項(xiàng)，以

3

4

為公比的等比數(shù)列，
故an=70×(

3

4

)n-6，
∴第n年初M的價(jià)值a_n=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（2）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得：
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，S_n=120n-5n（n-1），
An=

Sn

n

=120-5（n-1）=125-5n，
當(dāng)n≥7時(shí)，由于S₆=570，
故S_n=570+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×

3

4

×4×[1-(

3

4

)n-6]
=780-210×(

3

4

)n-6，
An=

Sn

n

=

780-210×( 3 4 )n-6

n

，
∵{a_n}是遞減數(shù)列，∴{A_n}是遞減數(shù)列，
∵A8=

780-210×( 3 4 )2

8

≈82.734＞80，
A9=

780-210×( 3 4 )3

9

≈76.823＜80，
所以必須在第九年初對(duì)M更新．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立問(wèn)題，關(guān)鍵要理解題意，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)不等式工具、函數(shù)最值的思想和方法達(dá)到求解的目的．考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想．