Question

(20)在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|,n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對差數(shù)列”.

    (Ⅰ)舉出一個前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項(xiàng))；

    (Ⅱ)若“絕對差數(shù)列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+ a_n+1 + a_n+2，n=1，2，3，…，分別判斷當(dāng)n→∞時，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

   （Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項(xiàng).

Answer 1

（Ⅰ）解：a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1

（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因?yàn)樵诮^對差數(shù)列{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，所以自第20項(xiàng)開始，該數(shù)列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₃=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=0，….

即自第20項(xiàng)開始，每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3，所以當(dāng)n→∞時，a_n的極限不存在.

當(dāng)n≥20時，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6,所以.

（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下：

        假設(shè){a_n}中沒有零項(xiàng)，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以對于任意的n，都有a_n≥1，從而

 

        當(dāng)a_n-1＞a_n-2時，a_n=a _n-1-a _n-2≤a_n-1-1（n≥3）；

 

        當(dāng)a_n-1＜a_n-2時，a_n=a _n-2-a _n-1≤a_n-2-1（n≥3）,

 

        即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1.

 

        令c_n=

 

        則0＜c_n≤c_n-1-1(n=2,3,4…).

 

        由于c₁是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)c_k＜0，這與c_n＞0（n=1，2，3……）矛盾.從而{a_n}必有零項(xiàng).

        若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記a_n-1=A（A≠0），則自第n項(xiàng)開始，每三個相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A，即

       

         所以絕對差數(shù)列{a_n}中有無窮多個為零的項(xiàng).