已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5，
（1）若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方向向量為（-2，-6），且函數(shù)在x=時有極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y=f(x)在[-3，1]上與y=m2-2m+13有兩個不同的交點，若g(x)=x2-2mx+1在區(qū)間[1，2]上的最小值，求實數(shù)m的值。
解：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+5，
∴f′(x)=3x2+2ax+b，
由已知f(x)在x=1處的切線斜率為=3，
∴，
∴a=2，b=-4，
∴f(x)=x3+2x2-4x+5，f′(x)=3x2+4x-4，
令f′(x)＞0得x＜-2 或x＞，
令f′(x)＜0得-2＜x＜，
∴f(x)在(-∞，-2)，(，+∞)上分別是增函數(shù)，f(x)在(-2，)上是減函數(shù)。
(2)由(1)可知，y=f(x)在x=-2時取得極大值，f(-2)=13，且f(-3)=8，f(-1)=4，
∴，
又g(x)=x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2，
當0＜m＜1時，g(x)在[1，2]上的最小值為g(1)=2-2m=-，∴m=，與0＜m＜1矛盾；
②當1≤m＜2時，g(x)在[1，2]最小值為g(m)=1-m2=-，
∴m=或m=-（舍去）；
綜上可知，m=。
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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