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2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA⊥PC,底面ABCD為菱形,G為PC中點,E、F分別為AB、PB上一點,△BCE的面積為63AB=4AE=42AC=46,PB=4PF.
(1)求證:AC⊥DF;
(2)求證:EF∥平面BDG;
(3)求三棱錐B-CEF的體積.

分析 (1)通過證明AC⊥平面PBD,然后證明AC⊥DF.
(2)設(shè)AC與BD的交點為O,連接OG,證明EF∥OG,推出EF∥平面BDG.
(3)設(shè)PD=m,求出F到平面ABCD的距離,求出△BCE的面積,利用等體積法求解即可.

解答 (1)證明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC…(1分)
∵底面ABCD為菱形,∴AC⊥BD,…(2分)
∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,…(3分)
又DF?平面PBD,∴AC⊥DF…(4分)
(2)證明:∵AB=4AE,PB=4PF,∴EF∥PA,…(5分)
設(shè)AC與BD的交點為O,連接OG,∵ABCD為菱形,
∴O為AC中點,又G為PC中點,∴OG∥PA,…(7分)
∴EF∥OG,又EF?平面BDG,OG?平面BDG,∴EF∥平面BDG…(8分)
(3)解:
設(shè)PD=m,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥CD,…(9分)
AD=CD=42
PA=PC=m2+32,
∵PA⊥PC,∴2(m2+32)=16×6,∴m=4…(10分)
∵PB=4PF,∴F到平面ABCD的距離為h=34PD=3…(11分)
∵△BCE的面積為S=63,
VBCEF=VFBCE=13×S×h=13×63×3=63…(12分)

點評 本題考查幾何體的體積的求法,仔細與平面平行于垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應用,考查空間想象能力.

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