Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，底面ABCD為菱形，G為PC中點，E、F分別為AB、PB上一點，△BCE的面積為6$\sqrt{3}，AB=4AE=4\sqrt{2}，AC=4\sqrt{6}$，PB=4PF．
（1）求證：AC⊥DF；
（2）求證：EF∥平面BDG；
（3）求三棱錐B-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明AC⊥平面PBD，然后證明AC⊥DF．
（2）設(shè)AC與BD的交點為O，連接OG，證明EF∥OG，推出EF∥平面BDG．
（3）設(shè)PD=m，求出F到平面ABCD的距離，求出△BCE的面積，利用等體積法求解即可．

解答 （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC…（1分）
∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，…（2分）
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，…（3分）
又DF?平面PBD，∴AC⊥DF…（4分）
（2）證明：∵AB=4AE，PB=4PF，∴EF∥PA，…（5分）
設(shè)AC與BD的交點為O，連接OG，∵ABCD為菱形，
∴O為AC中點，又G為PC中點，∴OG∥PA，…（7分）
∴EF∥OG，又EF?平面BDG，OG?平面BDG，∴EF∥平面BDG…（8分）
（3）解：
設(shè)PD=m，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，…（9分）
又$AD=CD=4\sqrt{2}$，
∴$PA=PC=\sqrt{{m^2}+32}$，
∵PA⊥PC，∴2（m²+32）=16×6，∴m=4…（10分）
∵PB=4PF，∴F到平面ABCD的距離為$h=\frac{3}{4}PD=3$…（11分）
∵△BCE的面積為$S=6\sqrt{3}$，
∴${V_{B-CEF}}={V_{F-BCE}}=\frac{1}{3}×S×h=\frac{1}{3}×6\sqrt{3}×3=6\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查幾何體的體積的求法，仔細與平面平行于垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應用，考查空間想象能力．