Question

已知前n項(xiàng)和為S_n的等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)對(duì)（n，k），使得na_n=kS_n？若存在，求出所有正整數(shù)對(duì)（n，k）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列中a₄，a₅，a₈成等比數(shù)列，求出數(shù)列的公差，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)對(duì)（n，k），使得na_n=kS_n，則由（1）知S_n=6n-n²，從而可得k=2+

5

n-6

，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閍₄，a₅，a₈成等比數(shù)列，所以a

2 5

=a₄a₈．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則（a₂+3d）²=（a₂+2d）（a₂+6d）．
將a₂=3代入上式化簡(jiǎn)整理得d²+2d=0，
又因?yàn)閐≠0，所以d=-2．
于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+7．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)對(duì)（n，k），使得na_n=kS_n，則由（1）知S_n=

n(a1+an)

2

=6n-n²．
當(dāng)n=6時(shí)，na_n=kS_n不成立，于是k=

nan

Sn

=

n(7-2n)

6n-n2

=

2n-7

n-6

=2+

5

n-6

．
因?yàn)閗為正整數(shù)，所以n-6≤5，即n≤11，且5被n-6整除，
故當(dāng)且僅當(dāng)n-6=±5，或n-6=1時(shí)，k為正整數(shù)．
即當(dāng)n=1時(shí)，k=1；n=11時(shí)，k=3；n=7時(shí)，k=7．
故存在正整數(shù)對(duì)（1，1），（11，3），（7，7），使得na_n=kS_n成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查存在性問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．