Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，對任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又?jǐn)?shù)列a_n滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

，設(shè)bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，并求f（a_n）的表達(dá)式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得對任意n∈N^*，都有bn＜

m-8

4

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用條件把2f（

1

2

）進(jìn)行轉(zhuǎn)化代入已知即可求出實(shí)數(shù)t；
（2）把f（a_n+1）利用已知條件進(jìn)行整理得到f（a_n+1）與f（a_n）之間的關(guān)系式，即可證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，進(jìn)而求f（a_n）的表達(dá)式；利用求得的f（a_n）的表達(dá)式代入即可求出

lim

n→∞

bn的值；
（3）利用（2）的結(jié)論求出b_n的表達(dá)式，代入bn＜

m-8

4

，整理后把bn＜

m-8

4

恒成立問題轉(zhuǎn)化為m＞

4

2n-1

恒成立，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出

4

2n-1

的最值即可求出m的最小值．

解答：解：（1）f(t)=2f(

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)，
∴t=

4

5

（3分）
（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(

an+an

1+an•an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即

f(an+1)

f(an)

=2
∴f（a_n）是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（2分）
∴f（a_n）=-2^n-1．（4分）
∴

lim

n→∞

bn=

-1

1- 1 2

=-2．（8分）
（3）由（2）得，bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

．（1分）
若bn＜

m-8

4

對任意n∈N^*恒成立，即-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，m＞

4

2n-1

恒成立（3分）
∵n∈N^*，∴當(dāng)n=1時(shí)，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．（5分）
又m∈N^*，∴存在m≥5，使得對任意n∈N^*，有bn＜

m-8

4

．
所以m_min=5．（7分）

點(diǎn)評：本題是對數(shù)列和函數(shù)知識的綜合考查．這一類型題，一般都是利用函數(shù)的性質(zhì)來研究數(shù)列的性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是把函數(shù)的性質(zhì)理解透徹．