Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求數(shù)列{

Sn

n

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列以及首項，求出公差，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結論求出S_n，進而求出數(shù)列{

Sn

n

}的通項，并判斷出其為等差還是等比，再代入對應的求和公式即可．

解答：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
得a₃²=a₁•a₇，
即（1+2d）²=1+6d
得d=

1

2

或d=0（舍去）．   
 故d=

1

2

．
所以an=

n+1

2

                                   
（Ⅱ）又Sn=

n(a1+an)

2

=

1

4

n2+

3

4

n，
則

sn

n

=

1

4

n+

3

4

又

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

4

（n+1）+

3

4

-（

1

4

n+

3

4

）=

1

4

{

Sn

n

}是首項為1，公差為

1

4

的等差數(shù)列．
所以T_n=n×1+

n(n-1)

2

×

1

4

=

1

8

n²+

7

8

n．

點評：本題是對數(shù)列基礎知識的綜合考查．解決這一類型題目的關鍵在于對數(shù)列知識的熟練掌握及應用．