Question

設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）．

（1）證明：；

（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由；

（3）證明：（）．

Answer 1

【考查目的】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、推理論證能、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想

解：（1）證明：設(shè)，所以…………1分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，…2分

因?yàn)?sub>，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均有 ．即，

所以………………………………………………………………3分

（2）解：當(dāng)時(shí)，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)時(shí)，由（1）知。

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，………………5分

令，，

因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，

由歸納假設(shè)知，．………………………………………6分

即在上為增函數(shù)，亦即，

因?yàn)?sub>，所以．從而對(duì)任意，有．

即對(duì)任意，有．這就是說，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①、②知，當(dāng)時(shí)，都有．……………8分

（2）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．

由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．…………………………………………………………………9分

再證對(duì)任意正整數(shù)，

．

要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．

即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立……………………10分

以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：

方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：

①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即．……………11分

則．

因?yàn)?sub> 

所以．………………………………………13分

這說明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①、②知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．

綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，成立  …14分