Question

在△ABC中，

AB

•

AC

=|

BC

|=2．
（1）求

AB

2+

AC

2的值；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）求的是兩個(gè)向量的平方和，由已知條件結(jié)合三角形法則得到|

BC

|=|

AC

-

AB

|=2，∴

AC

2-2

AC

•

AB

+

AB

2=4，與

AB

•

AC

=2聯(lián)立即得兩向量的平方和．
（2）由（1）的結(jié)論知道了相鄰兩邊的平方和，結(jié)合三角形的面積公式知需求出兩邊的夾角，綜合已知條件，用余弦定理求角的三角函數(shù)值，本題在求最值時(shí)因出現(xiàn)了兩邊的平方和為定值，屬于和定積最大的問題．

解答：解：（1）∵|

BC

|=|

AC

-

AB

|=2，∴

AC

2-2

AC

•

AB

+

AB

2=4，（3分）
又∵

AB

•

AC

=2，∴

AB

2+

AC

2=8；（5分）
（2）設(shè)|

AB

|=c，|

AC

|=b，|

BC

|=a，由（1）知b²+c²=8，a=2，
又∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

8-2

2bc

=

2

bc

，（9分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=

1

2

b2c2-b2c2• 4 b2c2

≤

1

2

( b2+c2 2 )2-4

=

3

，（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”，所以△ABC的面積最大值為

3

．（14分）

點(diǎn)評：考查向量的加減運(yùn)算，余弦定理以及三角形的面積公式，涉及到的知識點(diǎn)較多，變形時(shí)技巧性較強(qiáng)．