Question

如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形ADE所在平面互相垂直，△AEB是等腰直角三角形，且AE=ED設線段BC、PBC的中點分別為F、M，
求證：（1）FM∥平面ECD；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點N，連接FN，MN，可證明平面FMN∥平面ECD．進而轉化為FM∥平面ECD（2）先作二面角的平面角，連接EN，由面ADE⊥面ABCD，易得EN⊥面ABCD，再由三垂線定理作NP⊥BD，連接EP，則EP⊥BD，有∠EPN是二面角E-BD-A的平面角，然后分別求得，兩直角邊EN，NP的度即可．

解答：（1）證明：取AD的中點N，連接FN，MN，則MN∥ED，FN∥CD
∴平面FMN∥平面ECD．
∵MF在平面FMN內，
∴FM∥平面ECD（5分）
（2）解：連接EN，∵AE=ED，N為AD的中點，
∴EN⊥AD．
又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD．
作NP⊥BD，連接EP，則EP⊥BD，
∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，
設AD=a，∵ABCD為正方形，△ADE為等腰三角形，∴EN=

1

2

a，NP=

2

4

a．
∴tan∠EPN=

2

．（10分）

點評：本題主要考查線線，線面，面面平行，垂直關系的轉化與應用，還考查了二面角的求法，關鍵是論證二面角的平面角，常用的方法是三垂直線定理或其逆定理以及面面，線面，線線垂直關系轉化，屬中檔題．