已知直角三角形的斜邊為2，斜邊上的高為
3
2
，求證此直角三角形的兩個銳角是下列三角方程的根sin2x-
1+
3
2
sinx+
3
4
=0．
分析：設AD=k，進而根據(jù)AB表示出DB，進而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知CD2=AD•DB，進而整理得關于k的一元二次方程，求得k，進而求得兩個銳角的值為30°，60°分別代入sin2x-
1+
3
2
sinx+
3
4
=0，結(jié)果為0判斷出三角形的兩個銳角是原三角方程的根．
解答：精英家教網(wǎng)證明：設AD=k（如圖）
∵AB=2，
∴DB=2-k．
由CD2=AD•DB，
∴(
3
2
)2=k(2-k)，
k2-2k+
3
4
=0，k=
3
2
或
1
2
．
在直角△ACD中，
當AD=k=
3
2
時，tgA=
CD
AD
=
3
2
3
2
=
3
3
，
∴A=30°，B=60°．
當AD=k=
1
2
時，tgA=
CD
AD
=
3
2
1
2
=
3
，
∴A=60°，B=30°．
總之，兩銳角一為300，一為600．
當x=30°時，代入原方程中得sin230°-
1+
3
2
sin30°+
3
4
=(
1
2
)2-
1+
3
2
•
1
2
+
3
4
=0；
當x=60°時，代入原方程中得sin260°-
1+
3
2
sin60°+
3
4
=(
3
2
)2-
1+
3
2
•
3
2
+
3
4
=0．；
故這個直角三角形的兩個銳角是原三角方程的根．
點評：本題主要考查了三角形中的幾何計算，方程的根，解三角形等問題．
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29
，計算
AB
•
AC
+
BC
•
BA
+
CA
•
CB
=
29
29
．

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84π
5
84π
5
．

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