Question

已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（2）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）A={a|－1≤a≤1}. （2）{m|m≥2，或m≤－2}.）

【解析】

試題分析：（1）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，∴f＇(x)≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.       ①

設(shè)(x)=x²－ax－2，

① －1≤a≤1，

∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.                        -6分

（2）由=，得x²－ax－2=0，  ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩實(shí)根，

∴從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.                10分

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立.       ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

（方法一：）

②m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.                      --14分

（注：方法二： 當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；  當(dāng)m≠0時(shí)，

② 或 m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.）

考點(diǎn)：本題主要考查集合的概念，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、方程的根，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：難題，在某區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，則函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，則函數(shù)為減函數(shù)。通過研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)一步研究方程有實(shí)根的情況，這是函數(shù)與方程思想的靈活應(yīng)用。不等式恒成立問題，一般的要轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。