Question

12．已知直線l：4x+ay-5=0與直線l′：x-2y=0相互垂直，圓C的圓心與點(diǎn)（2，1）關(guān)于直線l對(duì)稱，且圓C過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）．
（1）求直線l與圓C的方程；
（2）已知N（2，0），過(guò)點(diǎn)M作兩條直線分別與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，若直線MP，MQ的斜率滿足k_MP+k_MQ=0，求證：直線PQ的斜率為1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線相互垂直，斜率的乘積為-1，可得直線l，設(shè)出圓心，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，可得圓心的坐標(biāo)，可得圓C的方程．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線MP的斜率為k，直線方程為y+1=k（x+1），則過(guò)點(diǎn)M的直線MQ的斜率為-k，直線MP與圓C相交，聯(lián)立方程組，求解P的坐標(biāo)，同理，求解Q的坐標(biāo)，可證直線PQ的斜率為1．

解答 解：（1）由題意：直線l：4x+ay-5=0與直線l′：x-2y=0相互垂直，斜率的乘積為-1，
故得4×1-2a=0，解得：a=2，
∴直線l的方程為：4x+2y-5=0．
設(shè)圓心為（a，b），圓心與點(diǎn)（2，1）關(guān)于直線l對(duì)稱，且圓C過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a-2}•（-2）=-1}\\{\frac{a+2}{2}•4+2•\frac{b+1}{2}-5=0}\end{array}\right.$，解得：a=0，b=0，
從而可得C的半徑為r=|CM|=$\sqrt{2}$，
故得圓C的方程的方程為：x²+y²=2．
（2）由題意：設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線MP的斜率為k，直線方程為y+1=k（x+1），則過(guò)點(diǎn)M的直線MQ的斜率為-k，直線MP與圓C相交，
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y可得：（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
圓C過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）．
故有：${x}_{p}•（-1）=\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，可得：x_p=$\frac{2k+1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
同理，將k替換成-k，可得${x}_{Q}=\frac{-{k}^{2}-2k+1}{1+{k}^{2}}$，
則K_PQ=$\frac{{y}_{Q}-{y}_{P}}{{x}_{Q}-{x}_{P}}$=$\frac{-k（{x}_{Q}+1）-1-k（{x}_{P}+1）+1}{{x}_{Q}-{x}_{P}}$=$\frac{-k（{x}_{Q}-{x}_{P}）-2k}{{x}_{Q}-{x}_{p}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了圓與直線的位置關(guān)系的運(yùn)用能力和計(jì)算化簡(jiǎn)能力．比較綜合，