Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），則a₂₀₀₉的值為（　�。�

• A、4016
• B、4017
• C、4018
• D、4019

Answer 1

分析：因?yàn)槭沁x擇題，可用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題意，可令f（x）=(

1

2

)x，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．

解答：解：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=(

1

2

)x
則a₁=f（0）=1，
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₀₉=4017
故選B

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，同時(shí)，對于客觀題不妨靈活處理，進(jìn)而來提高效率，拓展思路，提高能力