Question

已知各項(xiàng)均為整數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，公比q＞1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用等比中項(xiàng)公式直接求出a₃=8，利用a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．求出公比，然后求出通項(xiàng)公式；
（2）表示出A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，驗(yàn)證二者的大小，利用數(shù)學(xué)歸納法證明第一步，驗(yàn)證n=4時(shí)，不等式成立，第二步，假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，下面證明n=k+1時(shí)也成立．

解答：解：（1）

因?yàn)?span>a2a4=64

，∴a32=64，a3=±8.，∴a3=8，a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，所以a₂=4，a₄=16，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．
（2）

由(1)得An=2n+1-2，Bn=lo g 2 2 2n+1=(n+1)2， 當(dāng)n=1時(shí)，A1=2，B1=(1+1)2=4，A1＜B1； 當(dāng)n=2時(shí)，A2=6，B2=(2+1)2=9，A2＜B2； 當(dāng)n=3時(shí)，A13=14，B3=(3+1)2=16，A3＜B3； 當(dāng)n=4時(shí)，A4=30，B4=(4+1)2=25，A4＞B4； 由上可以猜想，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，An＜Bn；當(dāng)n≥4時(shí)，An＞Bn

下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當(dāng)n=4時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立．
②

假設(shè)n=k(k≥4)時(shí)，Ak＞Bk成立，即2k+1-2＞(k+1)2 當(dāng)n=k+1時(shí)，Ak+1=2k+2-2=2(2k+1-2)+2＞2(k+1)2+2=2k2+4k+4 ＞k2+4k+4=[(k+1)+1]2=Bk+1 即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．

由①②知，當(dāng)n≥4（n∈N^*）時(shí)，A_n＞B_n
綜上，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，A_n＜B_n；當(dāng)n≥4時(shí)，A_n＞B_n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列基本知識(shí)的掌握．難點(diǎn)在于作差比較大小，得出的結(jié)果不能判別符號(hào)，不少學(xué)生在此會(huì)放棄；在于要想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明差中的一部分．