Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+2bx+c（a，b，c∈R），且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，則z=（a+3）²+b²的取值范圍（ ）
A．（，2）
B．（，4）
C．（1，2）
D．（1，4）

Answer 1

【答案】分析：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．
解答：解：∵f（x）=
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即
（a+3）²+b²表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（-3，0）的距離的平方，
由圖知（-3，0）到直線a+b+2=0的距離，平方為為最小值，
（-3，0）與（-1，0）的距離2，平方為4為最大值
故選項(xiàng)為B
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)極值存在條件及線性規(guī)劃求最值．