設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
3
3 
或
1
2
3
3 
或
1
2
．
分析：P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形，故可分為兩類：①當(dāng)∠P為直角時(shí)，利用等面積可求；②當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí)，P的橫坐標(biāo)為
3
，代入橢圓方程可求．
解答：解：由題意，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形，故可分為兩類：
①當(dāng)∠P為直角時(shí)，設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，則F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn)
∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2
3

∵∠P為直角，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∵|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2
3

∴|PF1||PF2|=2
∴S△PF1F2=
1
2
|PF1||PF2|=1
∵S△PF1F2=
1
2
|F1F2|×y=
3
y
∴
3
y=1
∴y=
3
3

②當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí)，P的橫坐標(biāo)為
3

設(shè)P的縱坐標(biāo)為y（y＞0），則
(
3
)2
4
+y2=1，∴y=
1
2

故答案為：
3
3 
或
1
2
點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=
a2
c
上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上的一點(diǎn)A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點(diǎn)，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點(diǎn)，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點(diǎn)在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A（5，0），求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程．

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同步練習(xí)冊答案