Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分別為PC、BD的中點(diǎn)．

求證：（1）EO∥平面PAD；
（2）平面PDC⊥平面PAD．
 

 

Answer 1

（1）證法一：連接AC．
因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為矩形，所以AC過(guò)點(diǎn)O，且O為AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，所以EO//PA．
因?yàn)?i>PAÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．
證法二：取DC中點(diǎn)F，連接EF、OF．
因?yàn)辄c(diǎn)E、O分別為PC和BD的中點(diǎn)，所以EF//PD，OF//BC．
在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD．
因?yàn)?i>OF平面PAD，ADÌ平面PAD，所以OF//平面PAD．
同理，EF//平面PAD．
因?yàn)?i>OF∩EF＝F，OF、EFÌ平面EOF，所以平面EOF//平面PAD．
因?yàn)?i>EOÌ平面OEF，所以EO∥平面PAD．
證法三：分別取PD、AD中點(diǎn)M、N，連接EM、ON、MN．
因?yàn)辄c(diǎn)E、O分別為PC和BD的中點(diǎn)，所以EM,\d\fo(＝CD，ON,\d\fo(＝AB．
在矩形ABCD中，AB,\d\fo(＝CD，所以EM,\d\fo(＝ON．
所以四邊形EMNO是平行四邊形．所以EO//MN．
因?yàn)?i>MNÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．
（2）證法一：因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為矩形，所以CD⊥AD．
因?yàn)槠矫?i>PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CDÌ平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．
又因?yàn)?i>CDÌ平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．
證法二：在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD，垂足為F．
因?yàn)槠矫?i>PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD．
因?yàn)?i>CDÌ平面ABCD，所以PF⊥CD．
因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為矩形，所以CD⊥AD．
因?yàn)?i>PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．
又因?yàn)?i>CDÌ平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．