Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x+b•3^x，其中a，b為常數(shù)．
（Ⅰ）若ab＞0，判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）當a＞0，b＞0時，f（x）在R上是增函數(shù)；當a＜0，b＜0時，f（x）在R上是減函數(shù)．再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進行證明．
（Ⅱ）解：由f（x+1）-f（x）=a•2^x+2b•3^x＞0，得 2b(

3

2

)x＞-a，再分類討論求得它的解集．

解答： （Ⅰ）解：當a＞0，b＞0時，f（x）在R上是增函數(shù)；當a＜0，b＜0時，f（x）在R上是減函數(shù)．
證明如下：
當a＞0，b＞0時，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，
則 △y=f(x2)-f(x1)=a(2x2-2x1)+b(3x2-3x1)．
因為 2x1＜2x2，a＞0⇒a(2x2-2x1)＞0；又3x1＜3x2，b＞0⇒b(3x2-3x1)＞0，
所以△y=f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以，當a＞0，b＞0時，f（x）在R上是增函數(shù)．
當a＜0，b＜0時，同理可得，f（x）在R上是減函數(shù)．
（Ⅱ）解：由f（x+1）-f（x）=a•2^x+2b•3^x＞0，得 2b(

3

2

)x＞-a．（*）
①當a＜0，b＞0時，（*）式化為(

3

2

)x＞

-a

2b

，解得x＞log

3

2

(-

a

2b

)．
②當a＞0，b＜0時，（*）式化為(

3

2

)x＜

-a

2b

，解得x＜log

3

2

(-

a

2b

)．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)、對數(shù)不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．