Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝a(a＞2)，且a_n＋1＝(n∈N)．

(Ⅰ)證明：a₂＞2；

(Ⅱ)證明：a_n+1＜a_n；

(Ⅲ)若a＞3，且存在自然數(shù)k，使a_k≥3，證明：k＜1＋．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力． 　　(Ⅰ)證明：∵a1＝a＞2，∴(a－2)2＞0． 　　于是a2－2＝－2＝＞0，∴a2＞2． 　　(Ⅱ)證明：先證明an＞2，事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a＞2，命題成立． 　　假設(shè)n＝k(k∈N)時(shí)命題成立，即ak＞2， 　　于是ak+1－2＝－2＝＞0，∴ak+1＞2． 　　這說(shuō)明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立 　　故對(duì)任意自然數(shù)n，都有an＞2．　　下面證明an+1＜an． 　　∵＝＝(1＋)＜(1＋)＝1 　　又an＞2＞0，∴an+1＜an． 　　(Ⅲ)證明：當(dāng)k＝1時(shí)，不等式顯然成立． 　　當(dāng)k≥2時(shí)，由a＞3，ak+1＜ak及ak≥3，可得a1＞a2＞a3＞…＞ak≥3． 　　則＝＝(1＋)＜(1＋)＝． 　　又ak＝a1···…·＜a1···…·＝a·， 　　∴3≤ak＜a·，即3＜a·． 　　由a＞3得0＜＜1，∴＞，于是k－1＜，即k＜1＋．