Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面正三角形的邊長是2，D是CC₁的中點，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角是45°．
（1）求二面角A-BD-C的大��；
（2）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由幾何體的結(jié)構(gòu)特征與題中條件求出側(cè)棱的長度，進而建立坐標系分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關運算求出二面角的平面角．
（2）由（1）得平面ABD的法向量，再求出平面的一條斜線所在的向量，求出在法向量上的射影即可得到答案．
解答：解：（1）取BC的中點為O，連接OD，由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征得OA⊥平面BCC₁B₁，且OA=．
所以∠ADO是直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角，即∠ADO=45°．
所以OD=．
所以側(cè)棱的長為．
如圖建立空間直角坐標系，則，B（-1，0，0），C（1，0，0），
設是平面ABD的一個法向量，
則由得
而是面BCD的一個法向量
∴．
而所求二面角為銳角，即二面角A-BD-C的大小為
（2）∵
∴點C到面ABD的距離為
點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當?shù)目臻g直角坐標系進而利用空間向量解決空間中的空間角與空間距離問題．