Question

已知函數(shù)f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)，a，b，c為常數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)c的值；
（2）若a，b∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；
（3）對(duì)于（2）中的f（x），若f（x）≥m-2x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)定義可得f（-x）=-f（x），根據(jù)該恒等式可求得c，
（2）由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范圍，又b∈Z可求b值，進(jìn)而得a；
（3）原不等式，分離參數(shù)可化為m≤3x+

1

x

，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，利用基本不等式求出3x+

1

x

的最小值，問題得以解決

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）
∴

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

化簡(jiǎn)得bx+c=bx-c，
解得c=0，
（2）又f（1）=2，所以a+1=2b①，因?yàn)閒（2）＜3，所以

4a+1

2b

＜3②，
將①代入②并整理得

2b-3

2b

＜0，解得0＜b＜

3

2

，
因?yàn)閎∈z，所以b=1，從而a=1，
∴f（x）=x+

1

x

                 
（3）∵f（x）=x+

1

x

，
∴x+

1

x

≥m-2x，
∴m≤3x+

1

x

，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立
∵3x+

1

x

≥2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

3

時(shí)等號(hào)成立
即x=

3

3

時(shí)，（3x+

1

x

）_min=2

3

，
∴m≤2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，利用基本不等式求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．