Question

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗方法：
方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．
（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求ξ的期望．

Answer 1

（Ⅰ）若乙驗兩次時，有兩種可能：
①先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：

C 24 A 33

A 35

 ×

1

A 13

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

②先驗三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次試驗中有沒有，均可以在第二次結(jié)束）

A 34

A 35

A 12

A 22

=

24

5×3×4

=

2

5

（

C 34

C 35

=

4

10

×

1

2

=

1

5

）
∴乙只用兩次的概率為

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙驗三次時，只有一種可能：
先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為

2

5

∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．