Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為等邊三角形，D為AC的中點，AA₁=AB=6．
（Ⅰ）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（Ⅲ）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點，證明：A₁B∥OD，即可證明直線AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）證明BD⊥平面ACC₁A₁，即可證明：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（Ⅲ）利用${V}_{C-B{C}_{1}D}$=${V}_{{C}_{1}-BCD}$，求三棱錐C-BC₁D的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點．
∵D為AC中點，得DO為△AB₁C中位線，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面AB₁C，A₁B?平面AB₁C，
∴直線AB₁∥平面BC₁D；…（4分）
（Ⅱ） 證明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中點，
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BC₁D，∴平面 BC₁D⊥平面ACC₁A；…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3$\sqrt{3}$
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{C-B{C}_{1}D}$=${V}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}•\frac{9\sqrt{3}}{2}•6$=9$\sqrt{3}$． …（12分）

點評 本題考查線面平行，平面與平面垂足，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．