Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1
（1）求異面直線A₁B與 B₁C所成的角；
（2）求證：平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

Answer 1

分析：（1）通過平移先作出異面直線所成的角，進而求出即可；
（2）利用線面、面面平行的判定定理即可證明．

解答：解：（1）連接A₁D、DB．由正方體可得A1B1

∥

.

DC，∴對角面A₁B₁CD是一個平行四邊形，∴B₁C∥A₁D．
∴∠BA₁D或其補角即為異面直線A₁B與 B₁C所成的角，
∵△A₁BD是一個等邊三角形，
∴∠BA₁D=60°即為異面直線A₁B與 B₁C所成的角；
（2）證明：由（1）可知：A₁D∥B₁C，而A₁D?平面B₁CD₁，B₁C?平面B₁CD₁，
∴A₁D∥平面B₁CD₁，
同理可得A₁B∥平面B₁CD₁，
又∵A₁D∩A₁B=A₁，
∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

點評：熟練掌握線面、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵．