Question

過雙曲線的右焦點(diǎn)F，在第一象限內(nèi)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為D，若FD中點(diǎn)在雙曲線上，則此雙曲線的離心率為

1. A.
   +1
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：依題意可求得|FD|=b，通過第一象限內(nèi)的雙曲線漸近線方程與其垂線的方程求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得FD中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用雙曲線的第二定義即可求得其離心率．
解答：由題意得，該雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0），
第一象限內(nèi)的雙曲線的漸近線l的方程為：y=x，即bx-ay=0，
設(shè)點(diǎn)F 到l的距離為d，則d==b，即|FD|=b，
又直線FD⊥l，
∴直線FD的方程為：y=-（x-c）
由得D（，），設(shè)FD的中點(diǎn)為M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（，），
又FD中點(diǎn)M在雙曲線上，該雙曲線的右準(zhǔn)線方程為：x=，點(diǎn)M 到右準(zhǔn)線的距離d^′=|-|，而|MF|=|FD|=b，
∴由雙曲線的第二定義可得e===，又e=，
∴a=b．
∴e===．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線間的距離與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查雙曲線的第二定義，考查分析轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用的能力，屬于難題．