【題目】雙曲線經(jīng)過點
,兩條漸近線的夾角為
,直線
交雙曲線于
、
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過原點,
為雙曲線上異于
、
的一點,且直線
、
的斜率為
、
,證明:
為定值;
(3)若過雙曲線的右焦點
,是否存在
軸上的點
,使得直線
繞點
無論怎樣轉(zhuǎn)動,都有
成立?若存在,求出
的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)存在,.
【解析】
(1)根據(jù)雙曲線所過的點和漸近線的夾角可得關(guān)于的方程組,解該方程組后可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè),
,
,用三點的坐標(biāo)表示
,再利用點滿足的方程化簡前者可得所求的定值.
(3)設(shè)直線為
,
,
,根據(jù)
可得恒等式
,聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達(dá)定理化簡前者可得
,從而得到所求的定點.
(1)雙曲線的漸近線方程為,
因為兩條漸近線的夾角為,故漸近線
的傾斜角為
或
,
所以或
.
又,故
或
(無解),故
,
所以雙曲線.
(2)設(shè),
,
,
故,
,所以
,
因為,所以
即
,
所以為定值
.
(3)雙曲線的右焦點為,
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線
的方程為:
,設(shè)
,
,
因為,所以
,
整理得到①,
由可以得到
,
因為直線與雙曲線有兩個不同的交點,
故且
,
所以.
由題設(shè)有①對任意的總成立,
因,
所以①可轉(zhuǎn)化為,
整理得到對任意的
總成立,
故,故
即所求的定點
的坐標(biāo)為
.
當(dāng)直線的斜率不存在時,則
,此時
或
,
此時.
綜上,定點的坐標(biāo)為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y=2x﹣m與拋物線C:y2=2px(p>0)交于點A,B.
(1)m=p且|AB|=5,求拋物線C的方程;
(2)若m=4p,求證:OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形
是菱形,
⊥平面
且
.
(1)求證:平面⊥平面
;
(2)若設(shè)
與平面
所成夾角為
,且
,求二面角
的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10:10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前n項和為
,并且
,數(shù)列
滿足:
,
,記數(shù)列
的前n項和為
.
(1)求數(shù)列的通項公式
及前n項和為
;
(2)求數(shù)列的通項公式
及前n項和為
;
(3)求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】華為手機(jī)作為華為公司三大核心業(yè)務(wù)之一,2018年的銷售量躍居全球第二名,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了100名華為手機(jī)的顧客進(jìn)行調(diào)查,并將這人的手機(jī)價格按照
,
,…
分成
組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,其中
是
的
倍.
(1)求,
的值;
(2)求這名顧客手機(jī)價格的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表);
(3)利用分層抽樣的方式從手機(jī)價格在和
的顧客中選取
人,并從這
人中隨機(jī)抽取
人進(jìn)行回訪,求抽取的
人手機(jī)價格在不同區(qū)間的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com