Question

已知f(x)=lg

a-x

1+x

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；     
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）f(x)=lg

a-x

1+x

是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義建立方程求a；
（2）由（1）f(x)=lg

1-x

1+x

，運(yùn)用分離常數(shù)法對其形式進(jìn)行變化，再依據(jù)所得的形式進(jìn)行判斷單調(diào)性即可

解答：解：（1）∵f(x)=lg

a-x

1+x

是奇函數(shù)
∴f（-x）+f（x）=0
∴lg

a+x

1-x

+lg

a-x

1+x

=0
∴

a2-x2

1-x2

=1
∴a²=1，得a=±1
又a=-1時(shí)，解析式無意義，故a=1
（2）由（1）f(x)=lg

1-x

1+x

=lg(

2

1+x

-1)
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，1+x∈（0，2），由于1+x在x∈（-1，1）遞增，故

2

1+x

-1遞減，
由此知函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程求出參數(shù)，得到函數(shù)的解析式再用分離常數(shù)法判斷出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷出函數(shù)在（-1，1）上的單調(diào)性，本題題干簡單，涉及到的函數(shù)中的考點(diǎn)挺多，綜合性強(qiáng)，鑰匙時(shí)要注意根據(jù)題設(shè)的條件選擇解題方法，分離常數(shù)法是判斷分子分母都是齊次的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)常用的技巧，其特征是把分母變?yōu)槌��?shù)，方便判斷函數(shù)單調(diào)性，此法是一判斷方法，切記．