Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線L，與圓x²+y²=$\frac{12}{7}$相切，且橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線L為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0．由直線L與圓x²+y²=$\frac{12}{7}$相切相切，可得$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$．由拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），可得c=1．即a²-b²=1，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）當(dāng)兩射線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，S_△OAB=$\sqrt{3}$．當(dāng)兩射線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得得7m²=12（k²+1），所以點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$．因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A²+OB²=AB²≥2OA•OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)，取等號(hào)．由d•AB=OA•OB，得d•|AB|=|OA|•|OB|≤$\frac{|AB{|}^{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線L為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0．
由直線L與圓x²+y²=$\frac{12}{7}$相切相切，得$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$．①…（1分）
因?yàn)閽佄锞�y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），所以c=1．…（2分）
即a²-b²=1，代入①，得7a⁴-31a²+12=0，
即（7a²-3）（a²-4）=0，解得a²=4，a²=$\frac{3}{7}$（舍去）．…（3分）
所以b²=a²-1=3．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)兩射線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，S_△OAB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．…（5分）
當(dāng)兩射線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．…（7分）
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．
即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．…（8分）
∴（k²+1）$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+m²=0．…（8分）
整理，得7m²=12（k²+1），
所以點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（10分）
因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A²+OB²=AB²≥2OA•OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)，取等號(hào)．
由d•AB=OA•OB，得d•|AB|=|OA|•|OB|≤$\frac{|AB{|}^{2}}{2}$，
所以|AB|≥2d=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，即弦AB的長(zhǎng)度的最小值是$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．
所以△OAB的最小面積為S_△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{21}}{7}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$=$\frac{12}{7}$．
綜上，△OAB面積的最小值為$\frac{12}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、三角形面積計(jì)算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．