精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC丄BD,垂足為H,PH是四棱錐的高.已知AB=
6
,∠APB=∠ADB=60°.
(Ⅰ)證明:平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅲ)求二面角P-AD-B的正切值.
分析:(Ⅰ)由已知中PH是四棱錐的高,AC⊥BD,結(jié)合線面直線的判定定理我們可得AC⊥平面PBD,再由面面垂直的判定定理,我們可得平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)由已知中ABCD的為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6
,我們求出底面ABCD的面積,及棱錐的高PH的值,代入棱錐體積公式即可得到四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅲ)過H作HE⊥AD于E,連接PE,則∠PEH即為二面角P-AD-B的平面角,解三角形PEH,即可求出二面角P-AD-B的正切值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)證明:如圖所示:
∵PH是四棱錐的高
∴AC⊥PH,
又∵AC⊥BD,PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD;
(Ⅱ)解:∵ABCD的為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6

∴HA=HB=
3

又∵∠APB=∠ADB=60°.
∴PA=PB=
6
,HD=HC=1
∴PH=
PA2-HA2
=
3

SABCD=
1
2
•AC•BD
=2+
3

∴VP-ABCD=
1
3
×(2+
3
3
=
3+2
3
3

(Ⅲ)解:過H作HE⊥AD于E,連接PE
∵PH是四棱錐的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即為二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中,AH=
3
,DH=1
∴AD=2
∴HE=
3
2

∴tan∠PEH=
PH
EH
=2
故二面角P-AD-B的正切值為2
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,棱錐的體積,二面角的平面角及求法,其中熟練掌握面面垂直的判定定理是(I)的關鍵,求也底面面積及高是求(II)的關鍵,而找到二面角的平面角是解(III)的關鍵.
練習冊系列答案
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如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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