Question

[理]如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M為PC的中點，N點在AB上且AN=NB．
（1）證明：MN∥平面PAD；
（2）求直線MN與平面PCB所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證MN∥平面PAD，只需在面PAD內(nèi)找到一條直線和MN平行即可，而根據(jù)條件，易作輔助線過M作ME∥CD交PD于E，連接AE，下證MN∥AE；（2）求直線MN與平面PCB所成的角，關鍵找直線MN在平面PCB內(nèi)的射影，而根據(jù)條件，易作輔助線過N點作NQ∥AP交BP于點Q，NF⊥CB交CB于點F，連接QF，過N點作NH⊥QF交QF于H，連接MH，下證NH⊥平面PBC，∴∠NMH為直線MN與平面PCB所成的角．解△MNH即可．
解答：解：（1）證明：過M作ME∥CD交PD于E，連接AE．
∵AN=NB，
∴AN=AB=DC=EM．
又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，且EM=AN
∴AEMN為平行四邊形，
∴MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．

（2）過N點作NQ∥AP交BP于點Q，NF⊥CB交CB于點F，
連接QF，過N點作NH⊥QF交QF于H，連接MH．
易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，
∴BC⊥平面QNF，
∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，
∴∠NMH為直線MN與平面PCB所成的角．
通過計算可得MN=AE=，QN=，NF=，
∴NH===，
∴sin∠NMH==，∴∠NMH=60°．
∴直線MN與平面PCB所成的角為60°．
點評：考查線面平行的判定定理，在應用此定理時一定突出線在面外，和該 面內(nèi)的一條直線平行；考查直線和平面所成的角，關鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．