Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），定點M（0，5），直線l：y=

p

2

與y軸交于點F，O為原點，若以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點M作直線交拋物線C于A，B兩點，連AF，BF延長交拋物線分別于A′，B′，求證：拋物線C分別過A′，B′兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用定點M（0，5），直線l：y=

p

2

與y軸交于點F，O為原點，以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點，建立方程，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求出過點A′的切線方程、過點B′的切線的方程，可得y_Q=

4

x1x2

，直線y=kx+5代入拋物線方程，利用韋達定理可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵定點M（0，5），直線l：y=

p

2

與y軸交于點F，O為原點，以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點，
∴p2=

p

2

(5-

p

2

)，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（Ⅱ）證明：由題意，直線AB的斜率一定存在，設(shè)方程為y=kx+5，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₀，y₀），則
∵A，F(xiàn)，A′共線，
∴x₁（y₀-1）+x₀（1-y₁）=0，（x₀-x₁）（x₀x₁+4）=0，
∵x₀≠x₁，∴x₀=-

4

x1

，
∴A′（-

4

x1

，

4

x12

），
同理B′（-

4

x2

，

4

x22

）．
∵y′=

1

2

x，
∴過點A′的切線的斜率為-

2

x1

，切線方程為y=-

2

x1

x-

4

x12

，
同理過點B′的切線的方程為y=-

2

x2

x-

4

x22

，
聯(lián)立得y_Q=

4

x1x2

．
由

y=kx+5 x2=4y

可得x²-4kx-20=0，
∴x₁x₂=-20，
∴y_Q=

4

x1x2

=-

1

5

，即Q在一條定直線y=-

1

5

上運動．

點評：本題考查拋物線的方程，考查拋物線的切線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．