已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，|
F1F2
|=2，離心率 e=
1
2
，過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線 l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線 l的傾斜角為
π
4
，求線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：（1）利用已知條件及e=
c
a
、a2=b2+c2即可解出a、b、c，從而求出橢圓C的方程；
（2）利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵2c=|
F1F2
|=2，∴c=1，
又由e=
c
a
=
1
2
，得a=2，∴b2=22-12=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）∵F2（1，0），kl=tan
π
4
=1．
∴直線l：y=x-1，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
線段MN的中點(diǎn)為G（x0，y0）．
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1

得7x2-8x-8=0，
∴x1+x2=
8
7
，
∴x0=
x1+x2
2
=
4
7
，y0=x0-1=-
3
7
，
故線段MN的中點(diǎn)為(
4
7
，-
3
7
)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線與圓錐曲線的相交問題的解題方法是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖南）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：
x25
+y2=1的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b．當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島二模）已知F1、F2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，則雙曲線的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線C1：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2
DF2
=
F2E
，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線的上一點(diǎn)，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，則雙曲線的離心率是
 
．

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