已知函數(shù)f(x)=
cos2x
sin(
π
4
-x)

(I)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,并求其定義域和單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(α)=
4
3
,求sin2α的值.
分析:(I)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式2sin(x+
π
4
),由題意可得sin(x-
π
4
)≠0,故x-
π
4
≠kπ,由此求得定義域.由
2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
,k∈z求出函數(shù)的增區(qū)間;由 2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
2
,k∈z 求出函數(shù)的減區(qū)間.
(Ⅱ)由于 f(α)=2(cosα+sinα)=
4
3
,可得cosα+sinα=
2
3
,由此求得 sin2α 的值.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)=
cos2x
sin(
π
4
-x)
=
cos2x-sin2x
2
2
(cosx-sinx)
=
2
(cosx+sinx)=2 sin(x+
π
4
).
由題意可得sin(x-
π
4
)≠0,故x-
π
4
≠kπ,故定義域?yàn)閧x|x≠kπ+
π
4
,k∈z}.
由 2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
,k∈z,解得 2kπ-
4
≤x≤2kπ+
π
4
,k∈z,
故函數(shù)的增區(qū)間為 ( 2kπ-
4
,2kπ+
π
4
),k∈z.
由 2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
2
,k∈z,解得 2kπ-
π
4
≤x≤2kπ+
4
,k∈z,
故函數(shù)的減區(qū)間為( 2kπ+
π
4
,2kπ+
4
),k∈z.
(Ⅱ)∵f(α)=2(cosα+sinα)=
4
3
,∴cosα+sinα=
2
3
,求得 sin2α=(cosα+sinα)2-1=-
5
9
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,余弦函數(shù)的定義域和值域、余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x+
1
x
|,x≠0
0     x=0
,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是(  )
A、b<-2且c>0
B、b>-2且c<0
C、b<-2且c=0
D、b≥-2且c=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足sinB-2sinA=0且c=3,f(C)=0,求a、b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2bx+4,若對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的值域?yàn)椋ā 。?/div>

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足f(0)≥2,f(1)≥2,方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(4,+∞)
(4,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案