Question

已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為（3，4）由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)，圖象與x軸交于（7，0）點(diǎn)．
（1）試求函數(shù)的解析式．
（2）作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象
（3）求函數(shù)的最小正周期，并寫出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知中函數(shù)圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的坐標(biāo)，先確定A值及周期，進(jìn)而可得ω值和φ值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，描出函數(shù)圖象上幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得函數(shù)在一個(gè)周期上的草圖；
（3）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心．

解答：解：（1）由圖象最高點(diǎn)（3，4）知A=4．
又由題意知從最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)相交x軸于（7，0），
∴

T

4

=7-3=4，
即T=16．
∴ω=

2π

T

=

π

8

．
∴y=4sin（

π

8

x+φ）…（2分）
代入最高點(diǎn)坐標(biāo)，得4=4sin(

π

8

×3+φ)sin(

3π

8

+φ)=1，
即

3π

8

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

8

，…（8分）
∴函數(shù)解析式為y=4sin(

πx

8

+

π

8

)．…（4分）
（2）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示：
..（8分）

（3）由（1）知y=f(x)=4sin(

πx

8

+

π

8

)，
f(x+16)=4sin(

π(x+16)

8

+

π

8

)=4sin[(

πx

8

+

π

8

)+2π]=4sin(

πx

8

+

π

8

)=f(x)
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為16，…（10分）
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為：x=8k+3，k∈Z．
對(duì)稱中心為：（8k-1，0），k∈Z．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，降次公式和輔導(dǎo)角公式（和差角公式），熟練掌握正弦形函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．