Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=x-1-lnx

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）x-2y-2ln2=0,；（2）函數(shù)y=f（x）的極小值為f（1）=0, 無極大值；（3）

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062806054945798945/SYS201506280605548019751438_DA/SYS201506280605548019751438_DA.002.png">， ，

∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2,f（2））處的切線方程為，

即x-2y-2ln2=0,

（2）令，得x=1，

列表：

x	（0,1）	1
	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函數(shù)y=f（x）的極小值為f（1）=0, 無極大值。

（3）依題意對恒成立

等價(jià)于在上恒成立

可得在上恒成立，

令,

令，得

列表：

x
	-	0	+
g（x）	↘		↗

∴函數(shù)y=g（x）的最小值為,

根據(jù)題意，．

考點(diǎn)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值；函數(shù)恒成立的問題；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義；以及求極值的思路；解決恒成立的問題，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題