已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸為4，且點(diǎn)(1，
3
2
)在該橢圓上．
（I）求橢圓的方程；
（II）過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程．
（I）由題意2a=4，a=2
∵點(diǎn)(1，
3
2
)在該橢圓上，∴
1
4
+
3
4
b2
=1  解可得，b2=1
∴所求的橢圓的方程為
x2
4
+y2=1
（II）由（I）知c2=a2-b2=3∴c=
3
，橢圓的右焦點(diǎn)為（
3
，0）
因?yàn)锳B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以
OA
•
OB
=0
若直線的斜率不存在，則直線AB的方程為x=
3
交橢圓于(
3
，
1
2
)，(
3
，-
1
2
)兩點(diǎn)
OA
•
OB
=
11
4
≠0不合題意
若直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x-
3
)
由
y= k(x-
3
)
x2
4
+ y2=1
可得(1+4k2)x2-8
3
k2x+12k2-4=0
由直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)可知△＞0
設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）
則x1+x2=
8
3
k2
1+4k2
   x1 x2=
12k2-4
1+4k2

又y1y2=k2(x1-
3
)(x2-
3
)=k2[x1x2-
3
(x1+x2)+3]=
-k2
1+4k2

由
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
12k2-4
1+4k2
+
-k2
1+4k2
=
11k2-4
1+4k2
=0可得k=±
2
11
11

所以直線l的方程為y=±
2
11
11
(x-
3
)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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