Question

(1)12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，問每個盒子中至少有一個小球的不同放法有多少種?

(2)12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，每盒可空，問不同的放法有多少種?

(3)12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)不小于其編號數(shù)，問不同的放法有多少種?

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將12個小球排成一排，中間有11個間隔，在這11個間隔中選出3個，放上“隔板”，若記作“｜”看作隔板，則如圖00｜0000｜0000｜00隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即上圖中1，2，3，4四個盒子相應(yīng)放人2個，4個，4個，2個小球，這樣每一種隔板的插法，就對應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個間隔中選出3個間隔的組合對應(yīng)于一種放法，所以不同的放法有種． 答：每盒至少有一個小球，有165種不同放法． (2)因為每盒可空，所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應(yīng)用，現(xiàn)建立如下數(shù)學(xué)模型．將三塊隔板與12個球排成一排，則如圖000｜｜00000｜0000中隔板將這一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即上圖中1，2，3，4四個盒子相應(yīng)放入3個，0個，5 個，4個小球，這樣每一種隔板與球的排列法，就對應(yīng)了球的一種放法．排列的位置有15個，先從這15個位置中選出3個位置放隔板有個選法即排法，再在余下的位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有種，即球的放法有=455（種）． 答：允許空盒，有455種不同的放法． (3)解法一：用(1)的處理問題的方法．將1個，2個，3個小球分別放在編號為2，3，4的盒子中，將余下的6個小球分別放在四個盒子中，每個盒子至少一個小球，就確定了一種放法．將三塊隔板放在6個小球的間隔中，有＝10種插法，所以不同的放法總數(shù)等于余下的6個小球分別放入四個盒子(每盒至少1個)的不同放法總數(shù)為10種． 解法二：用(2)的處理問題的方法． 將1個，2個，3個，4個小球分別放在編號為1，2，3，4的盒子中，將余下的2個小球分別放在四個盒子中，每盒允許空盒，就確定了一種放法．將三塊隔板加上2個小球排成一列，有種排列，即有種放法．所以不同的放法總數(shù)等于余下的2個小球分別放人四個盒子(允許空盒)的不同放法總數(shù)為10種． 答：放球數(shù)不小于編號數(shù)的放法總數(shù)為10種． 點評：這是一道有限制條件的“相異元素允許重復(fù)的組合”問題，上一道例題是一個有限制條件的“相異元素允許重復(fù)的排列”問題，它們的相同之處是“相異元素允許重復(fù)地選取”，不同之處是選取后一個是無序的組合，一個是有序的排列．盡管它們有著本質(zhì)的區(qū)別，但類比于上述例題的數(shù)學(xué)模型，本例我們也可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來處理．