Question

已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR．
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，求a的值及該切線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；
（3）對(duì)（2）中的，證明：當(dāng)a（0，+）時(shí)，1

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR．
f '（x）=，g '（x）=（x＞0），
由已知得解得
兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e²，e）．
切線(xiàn)的斜率為k=f '（e²）=，
切線(xiàn)的方程為y﹣e=（x﹣e²）．
（2）由條件知h（x）=﹣alnx（x＞0），
h '（x）=﹣=，
①當(dāng)a＞0時(shí)，令h '（x）=0，解得x=4a²．
當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)，h '（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞4a²時(shí)，h '（x）＞0，h（x）在（4a²，+）上單調(diào)遞增．
x=4a²是h（x）在（0，+）上的惟一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)．
最小值（a）=h（4a²）=2a﹣aln（4a²）=2a[1﹣ln （2a）]．
②當(dāng)a0時(shí)，h '（x）=＞0，h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，無(wú)最小值．
故h（x）的最小值（a）的解析式為（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．
（3）證明：由（2）知（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），
則'（a）=﹣2ln （2a）．
令'（a）=0，解得a=．
當(dāng)0＜a＜時(shí)，'（a）＞0， （a）在（0，）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞時(shí)，'（a）＜0， （a）在（，+）上單調(diào)遞減．
（a）在a=處取得極大值?（）=1．
（a）在（0，+）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
（）=1也是（a）的最大值．
當(dāng)a（0，+）時(shí)，總有（a）1．