Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為a的正方形，D₁是底面ABCD上的射影E恰好是CD的中點(diǎn)，BD₁⊥DC₁．
（1）求證：DC₁⊥平面BCD₁；
（2）求點(diǎn)A到平面BB₁D₁D的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得D₁E⊥BC，DC⊥BC，從而BC⊥平面DCC₁D₁，由此能證明DC₁⊥平面BCD₁．
（2）點(diǎn)A到平面BB₁D₁D的距離與點(diǎn)C到平面BB₁D₁D的距離相等，由此能求出點(diǎn)A到平面BB₁D₁D的距離．

解答： （1）證明：∵D₁E⊥平面ABCD，∴D₁E⊥BC，
又∵DC⊥BC，∴BC⊥平面DCC₁D₁，
∵DC₁?平面DCC₁D₁，∴BC⊥DC₁，
∵DC₁⊥BD₁，BC∩BD₁=B，
∴DC₁⊥平面BCD₁．
（2）解：點(diǎn)A到平面BB₁D₁D的距離與點(diǎn)C到平面BB₁D₁D的距離相等，
過C作CN⊥BM，則CN⊥平面BB₁D₁D，
CN=CM•sin∠CMB=

3

2

a•

2 7

7

=

21

7

a．
∴點(diǎn)A到平面BB₁D₁D的距離為

21

7

a．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空是思維能力的培養(yǎng)．