Question

已知函數(shù).

（1）求曲線在點（1，0）處的切線方程；

（2）設函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))

 

Answer 1

（1）

（2）當時，的最小值為0；

當時，的最小值為；

當時，的最小值為 ．

【解析】

試題分析：利用導數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點.（2）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.（3）分類討論是學生在學習過程中的難點，要找好臨界條件進行討論.

試題解析：（1）由，得切線的斜率為．

又切線過點，所以直線的方程為 4分

（2），則

令，得；令，得 ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

①當，即時，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為

②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

在上的最小值為

③當，即時，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值為．

綜上：當時，的最小值為0；

當時，的最小值為；

當時，的最小值為． 12分

考點：（1）利用導數(shù)求切線方程；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最值.