Question

（2013•德州一模）已知函數(shù)f（x）=1nx-

1

2

ax2-2x
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）若a=-

1

2

時，關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)f'（x），根據(jù)題意解關(guān)于a的等式f'（2）=0，即可得到實數(shù)a的值；
（2）由題意，不等式f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，等價轉(zhuǎn)化為a≤

1-2x

x2

在（0，+∞）內(nèi)恒成立，求出右邊的最小值為-1，即可得到實數(shù)a的取值范圍；
（3）原方程化簡為

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0，設(shè)g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b（x＞0），利用導數(shù)研究g（x）的單調(diào)性得到原方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根的等價命題，建立關(guān)于b的不等式組并解之，即可得到實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

（x＞0）
∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f'（2）=0，即

a×22+2×2-1

2

=0，解之得a=-

3

4

（經(jīng)檢驗符合題意）
（2）由題意，得f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
即ax²+2x-1≤0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
∵x²＞0，可得a≤

1-2x

x2

在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
∴由

1-2x

x2

=（

1

x

-1）²-1，當x=1時有最小值為-1，可得a≤-1
因此滿足條件的a的取值范圍國（-∞，-1]
（3）a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x+b即

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0
設(shè)g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，（x＞0），可得g'（x）=

(x-2)(x-1)

2x

列表可得

∴[g（x）]_極小值=g（2）=ln2-b-2；[g（x）]_極大值=g（1）=-b-

5

4

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，且g（4）=2ln2-b-2
∴

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，解之得ln2-2＜b≤-

5

4

點評：本題給出含有對數(shù)的基本初等函數(shù)，討論函數(shù)的極值與單調(diào)性，并依此探求關(guān)于x的方程有解的問題．著重考查了導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值等方面的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想與邏輯推理能力，屬于中檔題．