Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁CC₁．
（1）求直線C₁B與底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁（要求說明理由）．
（3）在（2）的條件下，若AB=，求二面角A-EB₁-A₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）求出平面的法向量與直線所在的向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角即可．
（2）根據(jù)點的特殊位置設(shè)出點的坐標(biāo)為E（1，y，0），再利用向量的基本運(yùn)算證明兩個向量垂直即可證明兩條直線相互垂直．
（3）結(jié)合題意求出兩個平面的法向量求出兩個法向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為兩個平面的二面角即可．
解答：解：如圖，以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），C₁（1，2，0），B₁（0，2，0）
（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC的法向量，又，
設(shè)BC₁與平面ABC所成角為θ
，則．
（2）設(shè)E（1，y，0），A（0，0，z），則，
∵EA⊥EB₁，
∴
∴y=1，即E（1，1，0）所以E為CC₁的中點．
（3）∵A（0，0，），則，
設(shè)平面AEB₁的法向量m=（x₁，y₁，z₁），
則∴，
取，
∵，
∴BE⊥B₁E，又BE⊥A₁B₁∴BE⊥平面A₁B₁E，
∴平面A₁B₁E的法向量，
∴，
∴二面角A-EB₁-A₁為45°．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征以便距離空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而結(jié)合向量的基本運(yùn)算計算空間角證明線面垂直，但向量法對運(yùn)算能力有較高的要求．