已知x=1是函數(shù)f(x)=(ax-2)ex的一個極值點.(a∈R)
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)當x1,x2∈[0,2]時,證明:f(x1)-f(x2)≤e.
(Ⅰ)解:已知f′(x)=(ax+a-2)ex,f'(1)=0,∴a=1.
當a=1時,f′(x)=(x-1)ex,在x=1處取得極小值.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,f(x)=(x-2)ex,f′(x)=(x-1)ex.
當x∈[0,1]時,f′(x)=(x-1)ex≤0,∴f(x)在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞減;
當x∈(1,2]時,f′(x)=(x-2)ex>0,∴f(x)在區(qū)間(1,2]單調(diào)遞增.
所以在區(qū)間[0,2]上,f(x)的最小值為f(1)=-e,又f(0)=-2,f(2)=0,
所以在區(qū)間[0,2]上,f(x)的最大值為f(2)=0.
對于x1,x2∈[0,2],有f(x1)-f(x2)≤fmax(x)-fmin(x).
所以f(x1)-f(x2)≤0-(-e)=e.
分析:(I)先求出函數(shù)f(x)的導函數(shù),然后根據(jù)在極值點處的導數(shù)等于0,建立等式關(guān)系,求出a即可;
(II)確定函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值,從而f(x1)-f(x2)≤fmax(x)-fmin(x),由此可得到結(jié)論.
點評:本題綜合考查函數(shù)的極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時考查函數(shù)的最值的求解,是一道綜合題.