已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：bn=,求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列。

證明略


解析:

①必要性：

設(shè){an}成等差數(shù)列，公差為d,∵{an}成等差數(shù)列

    　　

從而bn+1－bn=a1+n·d－a1－(n－1) d=d為常數(shù)。

    故{bn}是等差數(shù)列，公差為d。

②充分性:

設(shè){bn}是等差數(shù)列，公差為d′,則bn=(n－1)d′

∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan                                                           ①

bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an                                  ②

①－②得：nan=bn－1?

從而得an+1－an=d′為常數(shù)，故{an}是等差數(shù)列。

綜上所述，數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1＜0，
an+1
an
=
1
2
，則數(shù)列{an}是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），
（I）若bn=
ann
+1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）已知數(shù)列{an}中，an=-4n+5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q=an-an-1（n≥2），且b1=a2，則|b1|+|b2|+…+|bn|=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n+1，則數(shù)列{an}的通項公式為
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n，那么它的通項公式為an=
2n
2n
．

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