Question

如圖所示，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求雙曲線的離心率e的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸． 因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱．依題意，記A(－c，0)，， 設(shè)，其中為雙曲線的半焦距，h是梯形的高． 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 設(shè)雙曲線的方程為，則． 由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得 ，　　　　　　　　　　　　　　�、� ．　　　　　　　�、� 由①式得．　　　　　　　　　　　③ 將③式代入②式，整理得 ， 故． 由題設(shè)，得 ． 解得． 所以雙曲線的離心率e的取值范圍是．

提示：

分析：這是一道解析幾何與代數(shù)知識(shí)的綜合題，實(shí)質(zhì)上是利用已知條件求得λ與雙曲線離心率e之間的關(guān)系，然后根據(jù)λ的取值，求出e的取值范圍．