Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx（a，b∈R），曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）-3x+2，求函數(shù)g（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程組，即可a，b的值；
（2）寫出g（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx過點(diǎn)P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函數(shù)f（x）=x-x²+blnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲線y=f（x）過點(diǎn)P（1，0）且在點(diǎn)P處的切線斜率為2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3；
（2）g（x）=f（x）-3x+2=x-x²+3lnx-3x+2=-2x-x²+3lnx+2，
則g′（x）=-2-2x+

3

x

，則函數(shù)g（x）在x=1處的切線斜率為-2-2+3=-1，
切點(diǎn)為（1，g（1））即為（1，-1），
則切線方程為：y+1=-（x-1），
即為x+y=0．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．