Question

已知函數f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x．
（I）若將函數y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到的圖象恰好關于點(

π

4

，0)對稱，求實數a的最小值；
（II）若函數y=f(x)在[

b

4

π，

3b

8

π](b∈N*)上為減函數，試求實數b的值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

），平移a個單位長度后得到函數f（x）=

2

sin(2x+2a+

π

4

)，根據對稱性可得2×

π

4

+2a+

π

4

=kπ，即可得到a=-

3π

8

+

kπ

2

進而得到答案．
（II）根據正弦函數的性質可得：y=

2

sin(2x+

π

4

)的遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，結合題意可得kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

，即

1

2

+4k≤

5

3

+

8

3

k，解得k≤

7

8

，進而求出b的數值．

解答：解：（I）由題意可得：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

），
將函數y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到函數f（x）=

2

sin(2(x+a)+

π

4

)=

2

sin(2x+2a+

π

4

）的圖象
∵函數y=

2

sin(2x+2a+

π

4

)關于點(

π

4

，0）對稱，
所以2×

π

4

+2a+

π

4

=kπ（k∈Z），即a=-

3π

8

+

kπ

2

，（k∈Z）
因為a＞0，所以k＞

3

4

，
所以當k=1時，a有最小值

π

8

．
（II）∵y=

2

sin(2x+

π

4

)在[

b

4

π，

3b

8

π](b∈N*）上為減函數，并且y=

2

sin(2x+

π

4

)的遞減區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，
∴kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

∴

1

2

+4k≤b≤

5

3

+

8

3

k
由

1

2

+4k≤

5

3

+

8

3

k得k≤

7

8

，
∵k∈Z∴k=0，
∴

1

2

≤b≤

5

3

，
又因為b∈N^*，
所以b=1．

點評：本題主要考查正弦函數的有關性質，即對稱性、單調性以及三角函數圖象的平移變換．